Teorema fundamental del cálculo

Hoy 28 de enero vamos a entender el concepto del teorema fundamental del cálculo y realizaremos algunos ejemplos para entenderlo de la mejor manera posible.

Para ello es necesario leer el capítulo 1.2 del libro de Dennis Zill

Nos encontraremos con un ejercicio similar al que he colocado en la imagen de arriba, si observamos todo eso se ha resuelto con las Sumas de Riemann, que como comentábamos es un método muy laborioso.

Pero gracias a ello, pudimos dar con el TFC "Teorema Fundamental del Cálculo", vamos a colocar la gráfica de la función que ahí marca.

En el problema se pretende calcular el área definida entre los intervalos [-2 , 1 ] como ahí se muestra, el resultado del área es de, -15/4 unidades cuadradas.

¿Pero por qué dio un área negativa?.

La respuesta es muy sencilla de comprender, nos dio un resultado negativo de área porque si se vuelve a observar la gráfica de la función, la parte donde nos marca -2 hasta el punto 0, es más grande que la parte de 0 hasta 1, es decir.

Esa es la respuesta del porque tenemos de respuesta un área negativa, si nosotros quisiéramos saber realmente el área total comprendida por ambas partes, tendríamos que hacerlo por separado para llegar a saber el resultado final.

Ahora volviendo al ejercicio.

Hay fórmulas muy importantes dentro del cálculo integral, para ella dejaré un formulario en la plataforma de Moodle la que usaremos en el curso, ¿dónde la pueden encontrar?, en esta sección.

Vamos a resolver el mismo problema del que hemos hablado, pero usando las fórmulas que tenemos, y aplicando el teorema fundamental del cálculo.

Nos encontramos con las siguientes fórmulas.

Veamos el ejercicio, y tomaremos de nuestra fórmula cuál es la que más se parece, para recurrir a ella..

\[\int\limits_{ - 2}^1 {{x^3}dx} \]

el número que tenemos debajo del símbolo de la integral se le conoce como límite inferior, y al número que tenemos arriba de la integral como límite superior. ¿quedó claro?, ok, sigamos...

Al resolver nuestra integral con la fórmula señalada.

\[\int\limits_{ - 2}^1 {{x^3}dx}  = \left. {\frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}}} \right|_{ - 2}^1\]

\[\int\limits_{ - 2}^1 {{x^3}dx}  = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - 2}^1\]

Aplicando el Teorema fundamental del cálculo.

\[\int\limits_{ - 2}^1 {{x^3}dx}  = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - 2}^1 = \left( {\frac{{{1^4}}}{4}} \right) - \left( {\frac{{ - {2^4}}}{4}} \right) = \frac{1}{4} - \frac{{16}}{4} =  - \frac{{15}}{4}\]

Y sorpresa....... hemos llegado al mismo resultado que al del libro que lo ha resuelto por Sumas de Riemann... ¿vemos la importancia del teorema fundamental del cálculo?

Ahora es momento de que practiquen, para ello estará ya la actividad 2 en la plataforma, y un artículo que les servirá para aprender mejor el tema.

Saludos